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人教版高二數學必修四《平面向量的線性運算》教學設計

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高中數學必修四《平面向量的線性運算》教案

教學目標

一、知識與技能

1.掌握向量的加減法運算,并理解其幾何意義.

2.會用三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量和差向量,培養數形結合解決問題的能力.

3.通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比,使學生掌握向量加減法運算的交換律和結合律,并會用它們進行向量計算,滲透類比的數學方法;

二、過程與方法

1.位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,由此引入本課題.

2. 運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加減法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結合律進行證明,同時運用他們進行相關計算,這可讓同學們進一步加強對向量幾何意義的理解. 三、情感、態度與價值觀

1.通過本節內容的學習,讓學生認識事物之間的相互轉化,培養學生的數學應用意識.

2.體會數學在生活中的作用.培養學生類比、遷移、分類、歸納等能力. 教學重點、難點 教學重點:會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量和差向量.

教學難點:理解向量加減法的定義.

教學關鍵:向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的探究引導.

教學突破方法:由物理中力的合成與分解拓展延伸,引導學生探討得到結論. 教法與學法導航

教學方法;啟發誘導,講練結合.

學習方法:數能進行運算,向量是否也能進行運算呢?數的加法啟發我們,從運算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法,讓學生順理成章接受向量的加法定義.結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯系數的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律. 教學準備

教師準備:多媒體或實物投影儀、尺規.

1

教師備課系統──多媒體教案

學生準備:練習本、尺規. 教學過程

一、創設情境,導入新課 上一節,我們一起學習了向量的有關概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷. 數能進行運算,向量是否也能進行運算呢?這一節,我們將借助于物理中位移的合成、力的合成來學習向量的加法和減法.

二、主題探究,合作交流 提出問題:

1. 類比數的加法,猜想向量的加法,應怎樣定義向量的加法? 2. 向量加法的法則是什么? 3. 與數的運算法則有什么不同?

師生互動:向量是既有大小、又有方向的量,教師引導學生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖.某對象從A點經B點到C點,兩次位移AB、BC的結果,與A點直接到C點的位移AC結果相同.力也可以合成,老師引導,讓學生共同探究如下的問題.

圖(1)表示橡皮條在兩個力的作用下,沿著GC的方向伸長了EO;圖(2)表示撤去F1和F2,用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度.

改變力F1與F2的大小和方向,重復以上的實驗,你能發現F與F1、F2之間的關系嗎?

F對橡皮條產生的效果與力F1與F2共同作用產生的效果相同,物理學中把力F叫做F1與F2的合力. 2

人教版新課標普通高中◎數學④ 必修

合力F與力F1、F2有怎樣的關系呢?由圖(3)發現,力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于平行四邊形對角線的長.

數的加法啟發我們,從運算的角度看,F可以認為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.

討論結果:1. 向量加法的定義:如下圖,已知非零向量a、b,在平面內任取一點A,作AB=a,則向量AC叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=AB+BC=AC.求BC=b,兩個向量和的運算,叫做向量的加法.

2. 向量加法的法則:

1)向量加法的三角形法則

在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運用這一法則時要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.

位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 2)向量加法的平行四邊形法則

如圖,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O為起點的對角線OC就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行 四邊形法則.

力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.

對于零向量與任一向量a,我們規定 a+0=0+a=a.

提出問題

1. 兩共線向量求和時,用三角形法則較為合適.當在數軸上表示兩個向量時,它們的加法與數的加法有什么關系?

2. 思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系?

3. 數的運算和運算律緊密聯系,運算律可以有效地簡化運算.類似地,向量的加法是否也有運算律呢?

師生互動:觀察實際例子,教師啟發學生思考,并適時點撥,誘導,探究向量的加法在特殊情況下的運算,共線向量加法與數的加法之間的關系.數的加法滿足交換律與結合律,即對任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結合律?引導學生畫圖進行探索.

討論結果:1. 兩個數相加其結果是一個數,對應于數軸上的一個點;在數軸上的兩個向量相加,它們的和仍是一個向量,對應于數軸上的一條有向線段.

2. 當a,b不共線時,|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊); 當a,b共線且方向相同時,|a+b|=|a|+|b|;

a,b共線且方向相反時,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當向量a的長度大于向量b的長度時,|a+b|=|a|-|b|;當向量a的長度小于向量b的長度時,|a+b|=|b|-|a|.

一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|.

3. 如下左圖,作AB=a,AD=b,以AB、AD為鄰邊作

ABCD,則BC=b,DC=a.

因為AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.

如上右圖,因為AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,

,所以(a+b)+c=a+(b+c). AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)

綜上所述,向量的加法滿足交換律和結合律. 提出問題

①如何理解向量的減法?

②向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則?

師生互動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數,因此向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義?

引導學生思考,相反向量有哪些性質?

由于方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是

-(-a)=a.

我們規定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量與其相反向量的和是零向量,即

a+(-a)=(-a)+a=0.

所以,如果a、b是互為相反的向量,那么 4

人教版新課標普通高中◎數學④ 必修

a=-b,b=-a,a+b=0.

A. 平行四邊形法則

如上圖,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.

由此,我們得到a-b的作圖方法. B. 三角形法則

如上圖,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.

討論結果:

①向量減法的定義.我們定義 a-b=a+(-b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.

規定:零向量的相反向量是零向量.

②向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.

三、拓展創新,應用提高

1 如下左圖,已知向量a、b,求作向量a+b.

活動:教師引導學生,讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學生體會作法中在平面內任取一點O的依據——它體現了向量起點的任意性.在向量作圖時,一般都需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應強調向量的起點放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連.

解:作法一:在平面內任取一點O(上中圖),作OA=a,AB=b,則OB=a+b. 作法二:在平面內任取一點O(上右圖),作OA=a,以OA、OB為鄰邊作OB=b.連接OC,則OC=a+b.

2 長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如下圖所示,一艘船從長江南岸A點出發,以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2 km/h.

1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字); (2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).

OACB,

活動:本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算,體會其中應解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導點撥學生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖上,從而與初中學過的解直角三角形建立聯系.

解:如上右圖所示,AD表示船速,AB表示水速,以AD、AB為鄰邊作則AC表示船實際航行的速度.

2)在Rt△ABC中,|AB|=2,|BC|=5, 所以|AC|=|AB|?|BC|?因為tan∠CAB=

22ABCD,

22?52?29≈5.4.

29,由計算器得∠CAB=68°. 2答:船實際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角為68°. 點評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進行向量運算,最后回扣物理問題,解決問題.

3 如圖(1)已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.

活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.

作法:如圖(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則

BA=a-b,DC=c-d.

4 如圖,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.

解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.

四、小結

1.先由學生回顧本節學習的數學知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結合律,幾何作圖,向量加法的實際應用.

2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法:特殊與一般,歸納與類比,數形結合,分類討論,特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法.

課堂作業

1.下列等式中,正確的個數是( )

①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0 A.5 B.4 C.3 D.2

2.如圖,D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點,則AF-DB等于( )

A.FD B.FC C.FE D.BE 3.下列式子中不能化簡為AD的是( )

A.(AB+CD)+BC B.(AD+MB)+(BC+CM) C.MB?AD?BM D.OC-OA+CD

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