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高二數學必修四《兩個變量的線性相關》創新教案

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高中數學必修四《兩個變量的線性相關》教案設計

一、內容和內容解析

本節課是人教A版高中數學必修三2.3.2兩個變量的線性相關的第二課時。上節課通過大量的生活實例,學生已經初步認識兩個變量間的相關關系,并可以借助散點圖呈現收集的數據。通過對單變量樣本數據中“平均數的幾何意義”(切合學生的認知需要)的介紹,為本節課的內容做了鋪墊。本節課的主要內容是用最小二乘法求線性回歸方程,基礎知識是回歸直線的概念,也是本節課的核心概念;基本思想是“最小二乘法”思想;根據線性回歸方程的系數公式求回歸直線是本節課的基本技能.

就統計學科而言,對不同的數據處理方法進行“優劣評價”是“假設檢驗”的萌芽,而后者是統計學學科研究的另一重要領域.了解“最小二乘法”思想,比較各種“估算方法”,體會它的科學性,既是統計學教學發展的需要,又在體會此思想的過程中促進學生對核心概念的進一步理解.“樣本估計總體”是本節課的上位思想也是整個第二章的核心思想,而“最小二乘法思想”作為本節課的核心思想,由此得以體現.回歸思想和貫穿統計學科中的隨機思想,也在本節課中有所滲透.

本節課通過引導學生經歷“收集數據——整理數據(作散點圖)——探究并確定回歸直線的數學意義——求回歸直線方程——應用”完整的回歸分析的過程,鼓勵學生獨立思考、自主探究、合作交流和計算機操作等方式展開學習,從而發揮本節課的育人價值。整個學習過程滲透了數據分析和數學建模的核心素養。通過引導學生對散點圖中的點大致分布在一條直線附近的觀察,滲透直觀想象的核心素養;通過嘗試提出找回歸直線的想法、用自己的語言描述對這條直線的初步認識到探究從數學的角度定義回歸直線的過程,滲透數學抽象和邏輯推理的核心素養;最后,根據回歸直線方程的系數公式,引導學生先求出公式中的基本統計量,再代入公式的過程和指導學生利用Excel電子表格求回歸方程的過程,提升數學運算的核心素養。

基于上述內容分析,本節課的教學重點為:了解最小二乘法思想,并能根據給出的線性回歸方程的系數公式,建立線性回歸方程

二、目標和目標設置

基于對本節課教學內容的解析,結合《普通高中數學課程標準(2017年版)》的要求,制定本節課的教學目標如下:

1.了解一元線性回歸模型的含義:

1)能根據散點圖解釋兩個相關變量的線性相關關系; (2)能用自己的語言解釋回歸直線的統計意義; 2.了解最小二乘原理:

1)經歷用不同方法確定回歸直線的過程,能認識到回歸直線是“從整體上看,各點與此直線上的點的距離最小”的直線;

2)能用數學符號刻畫“從整體上看,各點與此直線上的點的距離最小”的表達方式;

3)通過對表達方式的轉化(距離最小到偏差平方和最小),體會最小二乘法原理,并能用自己的語言表述;

3. 針對實際應用問題,能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程; 4. 在經歷完整的線性回歸分析的過程中,重點提升數據分析和數學建模核心素養; 5. 針對實際應用問題,會用一元線性回歸模型進行預測.

三、學生學情分析

1 頁(共6 頁)

在經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程后,在學生現有知識能力范圍內,如何選擇一個最優方法,成為知識發展的邏輯必然.而上節課的“從平均數的幾何意義說起”符合學生的認知需要和支撐點,同時引起了學生的興趣,為這節課的最小二乘法思想的產生做了重要的鋪墊.

“最小二乘法”作為經典的回歸方程估算方法,通過用數學方法刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”這一直觀的幾何描述,采取合適的數學處理方法,最終獲得回歸直線,對學生認可統計估算的科學性有很大幫助.其中對于數形結合發現距離與偏差的等價性,二元二次函數的特征辨識等都是這節課學生所要具備的認知基礎.

基于此,如何把“從整體上看,各點與此直線的距離最小”用合適的代數符號刻畫并化簡,化幾何問題為代數問題,是學生順利了解解“最小二乘法”思想的前提;而如何化簡復雜的代數表達式,學生缺乏處理的經驗,在計算能力的要求上也較高,這里就造成了已有認知與現需認知的差異,而且是學生不能獨立突破的.要了解“最小二乘法思想”,接受“由系數公式得到的線性方程”為回歸方程,理解此方程可作為“兩個具有線性相關關系的變量的代表”這一回歸直線概念的本質,并體現相對于其他估算方法法的優越性,又必須要求對給出的系數公式來源進行一定的說理,這里的認知差異也是學生無法自己消除的,需要老師的引導和幫忙.

知識發展的要求與學生能力和經驗的欠缺成為本節課將會遇到的最大矛盾.教學中,要防止兩種傾向:一是直接套用回歸系數公式求解回歸方程而回避說理過程;二是過多糾纏于數學刻畫過程,甚至在課堂上花大量時間對回歸系數公式進行證明說理.這兩種傾向,都脫離了實際情況,前者忽略了“最小二乘法思想”,迷失了本節課的教學目標;后者人為拔高教材要求,脫離了本節課教學要求.

所以,本節課的教學難點是:如何通過數學方法刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”,并在此過程中了解最小二乘法思想.對于該教學難點,教師通過精準問題串層層分解學生認知的難點,不斷尋找學生的認知原點,關鍵處動畫展示,直觀形象,突破教學難點. 本節課涉及大量數據計算,形成操作上的一個難點,通過小組合作,教師培訓模式突破難點.

四、教學策略分析

本節課在課前讓學生收集身高與體重的數據,一方面對前面學過的知識有一個鞏固,同時讓本節課進行線性回歸分析的過程更加完整;二是從學生身邊的真實數據出發,更容易促進學習動機,而且給學生帶來的體驗也更為真實。對回歸直線概念的學習,采用概念形成和概念同化相結合的策略。從自然語言描述上,回歸直線是“從整體上看,各點與此直線的距離最小”的一條直線,“總偏差平方和最小”是回歸直線的數學符號表示。這里通過精心設計“問題串”引導學生經歷充分的思維活動過程,是本節課落實數學基本活動經驗的最佳機會。具體來說,考慮讓學生帶著“同學們想做什么?或者說利用學過的統計知識你能做些什么?”這樣的問題,在得出散點圖后,直觀感知“點”的分布特點,實際上也是在培養學生“發現問題”、“提出問題”的能力;通過讓學生“嘗試畫出你認為合適的回歸直線”的活動,給予學生獨立思考的時間和空間,再通過讓學生展示自己畫的回歸直線,引導學生對回歸直線的標準有一個模糊的初步的想法。在此基礎上提出如何給回歸直線一個定量的數學的標準的問題。通過借助幾何畫板動態演示,幫助學生理解從“距離的和的最小”到“總偏差平方和最小”的轉化過程,完成對回歸直線概念的形成過程。除此之外,上節課利用“平均數的幾何意義”的案例做了鋪墊,本節課再類比標準差公式的學習過程,實際上是采用了先行組織者策略幫助學生同化回歸直線的概念。新課標相對于老課標(修訂版)在教學目標上增加了“會使用相關統計軟件”的要求,采用小組合作學習的方式,更能在探究和上機操作的過程中幫助基礎薄弱的學生學習。另外,手機拍照投屏技術可以及時將學生討論的結果展示給所有學生,幫助老師及時獲得反饋,也有助于學生在心理上形成與他人的比較,幫助學生逐漸形成自我評價的意識。最后考慮結合國策作為作業的背景材料,也是體現教學中要有立德樹人的意識。

五、教學過程設計 (一)知識回顧 ,導入新課

1.兩個變量之間有幾種關系?

2.從“平均數”的幾何意義說起

師生活動:兩個變量之間有兩種關系,即函數關系和相關關系.通過平均數是數軸上一組數據最靠近的一個“代表值”,但是這是一個單變量樣本數據的問題,日常生活中涉及的大多數是多變量的問題,比如課前收集的身高與體重就是一個雙變量樣本數據的問題

(二)初步探索,直觀感知

面對收集來的樣本數據,同學們想做什么?或者說利用學過的統計知識你能做些什么? 利用電子表格作出散點圖,直觀感知兩個變量之間的線性相關關系及回歸直線(板書) 數學實驗1:尋找回歸直線——請同學們在學案上嘗試畫出你認為合適的回歸直線

問題1:如何評價這些“直線”的優劣?是否有個評價標準?

【設計意圖】能夠進行數學抽象,達到新課標的水平一,即在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則,能夠在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題,能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題.在上節課平均數的幾何意義的基礎上,學生通過散點圖對尋求回歸直線的優劣展開思考,對于所有的點要突出“整體”二字,于是提出“從整體上看,各點與此直線的距離和最小”這一評價標準,對比幾何描述的直觀性和代數表達的便捷性,揭示兩者是同一標準下不同表述.

師生活動:通過面對樣本數據,感受核心思想“利用樣本估計總體”.通過作出散點圖發現兩個變量線性相關關系及回歸直線.尋求的可能方案: (1)回歸直線是過散點最多的直線;(2)回歸直線是使上下點基本平均分布的直線;(3)回歸直線是過兩個端點的直線;(4)回歸直線是經過樣本中心的直線;(5)回歸直線是各點與之距離最小的直線;(6)多畫幾條直線,取它們的斜率、截距的平均數作為回歸直線的斜率.由此自然出現一個問題:各種處理方法是否合理?哪條“最合適”?類比平均數的幾何意義,感受樣本數據點與相應直線在整體上是最接近的,“接近”,數學上是如何量化的.于是引出了評價優劣的標準為“從整體上看,各點與此直線的距離和最小”. 由于具有幾何直觀性,學生易于接受此標準,達成“幾何”與“代數”的轉化. (三)循序漸進,延伸拓展

問題2:你能用代數式刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離和最小”嗎? 問題3:距離可以用別的形式代替嗎?

問題4:作為判斷優劣的標準,距離和偏差可以等價嗎?

問題5:偏差有正有負,因此它們的和并不能反映“從總體上來看,各點與直線的偏差最小”,怎樣解決這個問題呢?

【設計意圖】能夠在熟悉的情境中,發現問題并轉化為數學問題,建立數學模型,進行數據分析.通過問題,引導學生進人深層次的思考,為下一步探究作好準備.經歷“幾何直觀”轉化為“代數表達”過程,體會“最小二乘法” 思想.

師生活動: 利用幾何畫板介紹偏差處理法的優越性和等價性,達成“距離”與“偏差”的轉化.假設樣本數據為:(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn).當自變量x取xi(i=1,2,……,n)時,

??bxi?a(i=1,2,……,n)可以得到y,它與實際收集到的yi之間的偏差是

?i?yi?(bxi?a)(i=1,2,……,n)?1)?(y1?y?2)??(yn?y?n),yi?y,故偏差和為Q?(y1?y偏差有正有負,易抵消,所以學生生可能會存在如下回答:(1)每項加絕對值,這樣全部變成

正數;(2)每項加平方.類比前面方差的學習,大家不難達成共識選(2),這樣就形成二乘法思

2222想,即 Q?(y1?bx1?a)?(y2?bx2?a)?(y3?bx3?a)?????(yn?bxn?a)

問題6:顯然a,b是未知量,xi,yi是已知量 ,那么下面的表達式具有什么樣的函數特征? 【設計意圖】不經歷公式化簡,無法真正理解最小二乘法思想.而直接從n個點的公式化簡,教學要求、教學時間、學生能力都沒達到這個高度.而由具體到抽象,由特殊到一般,是學生順利完成認知過程的一般性原則.通過此問,讓學生了解這個式子的結構,為后續學習打下基礎.

師生活動:通過令式子等于Q觀察其函數特征,可以發現其實是關于a,b的二元二次函數求最值的問題,即我們要求的是當a,b取什么值時,使Q取到最小值,即所有點到直線的整體距離最小.

上述這種通過求Q的最小值而得到回歸直線的方法,即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法,叫做最小二乘法.其中“二乘”指的是平方,最小即使得Q最小. 在此基礎上,給出使Q為最小值時的a,b的值的線性回歸方程系數公式

nn?(xi?x)(yi?y)?xiyi?nxy,a?y?bx

i?1i?1b??nn222(x?x)x?nx?i?ii?1i?1對于公式的推導及證明,我們將在后面的學習中深入展開.

問題7:運用這個公式進行運算,你按怎樣的順序求解呢?

【設計意圖】能夠針對運算問題,合理選擇運算方法,設計運算程序,解決問題,體現了數學的核心素養.但公式不要求推導(推導過程參見《選修2-3》第三章3.1節),又不要求記憶,學生對這個公式缺少感性的認識.通過這個問題,使學生從感性的層次上對公式有所了解.

師生活動: 這個公式不要求記憶,由于這個公式比較復雜,因此在運用這個公式求a,b時,必須要有條理,先求什么,再求什么,比如,我們可以按照的順序來求,再代入公式. (四)實際應用,知識深化

問題1:觀察公式,根據我們收集的數據,需要計算哪些新數據,才能求出線性回歸方程系數?計算量大不大?我們用計算機代替,請大家自主進行操作

【設計意圖】公式形式化程度高、表達復雜.通過分解,加深對公式結構的理解.同時,通過數據處理的繁雜過程,體現計算器處理的優越性. 師生活動:師生共同得出n,x,y,?xy,?xiii?1i?1nn2i這五個新數據.學生自主完成計算機操作(操作

流程拷貝在學生電腦上),最后教師進行操作示范,點評,師生共同完成.

問題2:利用計算機,請同學們獨立完成電腦上的例題(即課本上91頁例題).

師生活動:教師巡視,適時指導輔助,最后操作演示,并對估計的結果的隨機性作出說明. (五)歸納總結,內化知識

數形結合、類比思想 收集數據 判斷相關關系 線性相關 系數公式 回歸直線及方程 預測 散點圖 最小二乘法

【設計意圖】思維導圖式的對課堂知識和思想的兩層總結、提煉 師生活動: 師生共同小結 (六)作業布置,創新應用

我國是一個人口大國,由于二胎政策的放開,估計人口數量及發展趨勢是我們制定經濟發展計劃等一系列相關政策的基礎,人口數量預測是一個復雜的問題,不僅是人口與時間兩個變量之間的關系,還與國家經濟狀況,科技發展,自然災害和戰爭等其他因素有關.上網收集我國近15年人口數量,并利用統計知識對收集到的數據進行分析,并預測2020年我國人口數.

【設計意圖】學習材料的選擇是學生自身的身高和體重的數據,滲透了數學源于生活,材料的選擇更能引起學生興趣,而作業的背景材料選擇結合國策,促進知識的保持與遷移,同時也是對立德樹人的體現

(七)板書設計

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